プランシュレルの定理

   2017/09/09

学校の輪読で使っている本でプランシュレルの定理の証明が出てきたのですが、なんかこれはいろんな表現方法(?)があるらしく、今回僕がぶち当たった形式のはなかなか見つけられなかったのでメモっておくことにしました。
有名なパーセバルの等式のより一般的な形のもののようです。

ここに書き留めておくのは離散時間フーリエ変換に関するプランシュレルの定理です。
示したいのは次の等式。

\begin{align}
\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k)\overline{y(k)}=\frac{T}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{T}}^{\frac{\pi}{T}} X(e^{j\omega T})\overline{Y(e^{j\omega T})} d\omega
\end{align}

本当は積分とシグマの交換のところに議論が必要ですが、大体以下のような感じの計算になります。

\begin{align}
\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k)\overline{y(k)}&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}F^{-1}Fx(k)\overline{y(k)}\\
& \sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{T}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{T}}^{\frac{\pi}{T}}\left(Fx(k)\right)e^{j\omega kT}\overline{y(k)}d\omega\\
&=\frac{T}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{T}}^{\frac{\pi}{T}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(e^{j\omega T})\overline{y(k)e^{-j\omega kT}}d\omega \\
&=\frac{T}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{T}}^{\frac{\pi}{T}}X(e^{j\omega T})\sum_{k=-\infty}^{\infty}\overline{y(k)e^{-j\omega kT}}d\omega \\
&=\frac{T}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{T}}^{\frac{\pi}{T}}X(e^{j\omega T})\overline{\sum_{k=-\infty}^{\infty}y(k)e^{-j\omega kT}}d\omega \\
&=\frac{T}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{T}}^{\frac{\pi}{T}} X(e^{j\omega T})\overline{Y(e^{j\omega T})} d\omega
\end{align}

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