運動の周期の導出 その2

 

以前、ストロガッツを読んでいて腑に落ちないところがあって式をいじくりまわして自分なりに納得していましたが、「こう考えれば自明じゃないか?」と思ったのでしたためておくことにしました(自分の記事を見返していてこのことに気づいたので勉強メモって役に立つなあと思いました)。

問題を再掲しておきます。
\begin{eqnarray}
\dot{\theta} = \omega - a\sin \theta
\end{eqnarray}

なる微分方程式で記述される運動の周期が

\begin{eqnarray}
T =& \int dt \tag{1} \\
=& \int_0^{2\pi} \frac{dt}{d\theta}d\theta\\
=& \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{\omega - a\sin \theta}
\end{eqnarray}

と書き表せる、というもの。
これ、式(1)で積分区間を付け加えればスッキリ理解できました。
つまり、以下のようです。番号が振ってある式については下で解釈を追記しています。
\begin{eqnarray}
T =& \int_0^{T} dt \tag{2} \\
=& \int_0^{2\pi} \frac{dt}{d\theta}d\theta \tag{3} \\
=& \int_0^{2\pi} \left[ \frac{d\theta}{dt} \right]^{-1}d\theta \\
=& \int_0^{2\pi} \left[ \dot{\theta} \right]^{-1} d\theta\\
=& \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{\omega - a\sin \theta} \tag{4}
\end{eqnarray}
(2)→周期\( T \)を積分表記にしただけ。計算すれば\(T\)が出てくる。
(3)→時間\(t\)から位相\( \theta \)への変数変換。時間に関して\( 0 \)から\( T \)に対応する位相は\( 0 \)から\( 2\pi \)。
(5)→もともとの微分方程式である\(\dot{\theta} = \omega - a\sin \theta\)を代入、整理した。

スッキリしたのでめでたしめでたし。

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