運動の周期の導出

   2018/03/01

ストロガッツを読んでいて、ちょっと引っかかったところがあったのでちゃんと計算した。
第4章で、次の微分方程式を扱っているところ。

\begin{eqnarray}
\dot{\theta} = \omega - a\sin \theta
\end{eqnarray}

で、この運動の周期Tが

\begin{eqnarray}
T =& \int dt \\
=& \int_0^{2\pi} \frac{dt}{d\theta}d\theta\\
=& \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{\omega - a\sin \theta}
\end{eqnarray}

と、計算できるというもの。これってすんなり入ってくる人には自明なんだろうか。
これを自分なりにちゃんと計算した結果が以下のもの。

\begin{align}
\dot{\theta} = \omega - a\sin \theta \ \ \ \ ・・・(1)
\end{align}
で記述される運動の周期を求める。(1)が解けて
\begin{align}
\theta = g(t)
\end{align}
と書けるとする。この式を変形して(逆に解いて)、
\begin{align}
t = g^{-1}(\theta) \ \ \ \ ・・・(2)
\end{align}
とできるとする。求める周期をTとして、
\begin{align}
T =& t|_{\theta = 2\pi} - t|_{\theta = 0} \\
=& g^{-1}(2\pi) - g^{-1}(0) \\
=& [ g^{-1}(\theta)]_0^{2\pi} \\
=& \int_0^{2\pi}\frac{d}{d\theta}g^{-1}(\theta)d\theta\\
=& \int_0^{2\pi}\frac{dt}{d\theta}d\theta \ \ \ ((2)を用いた) \\
=& \int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{\omega - a\sin \theta}
\end{align}

割と苦労した...

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