クレローの微分方程式

 

僕は微分方程式が大好きなのですが、その中でも特にクレローの微分方程式が好きです。
ということでその概要と例題をここで紹介しようと思います。

クレローの微分方程式の概要

クレローの微分方程式は以下のような形で表されます。
\begin{align}
y = xy' + g(y')\ \ \ ・・・(1)
\end{align}
\(p=y'\)と置いて、次のように改めます。
\[
y = px + g(p)\ \ \ ・・・(2)
\] これを\(x\)で微分して
\[
y' = p'x + p + g'(p)p'
\] \(y'=p\)なので
\[
p = p'x + p + g'(p)p'
\] 整理して
\[p'\{x+g'(p)\}=0\] これより

\(p' = 0\) または \(x + g'(p) = 0 \)

となります。
まず、\(p'=0\)より、これを積分して
\[p = C \]を得ます。(2)に代入することで、一般解
\[
y = Cx + g(C)
\] が導出できます。\(x + g'(p) = 0 \)の方を用いると、(2)と連立させ、
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
y = px + g(p) & \\
x + g'(p) = 0 &
\end{cases}
\end{eqnarray}
とすることによって、もとの微分方程式の解の\(p\)によるパラメータ表示が得られます。この解は特異解です。

一般解と特異解の関係

クレローの微分方程式は、その特異解が一般解の包絡線になっているという特徴があります。
このことを確かめてみましょう。

一般解は
\[
y = Cx + g(C)\ \ \ ・・・(3)
\] と表され、特異解は
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
y = xp + g(p) & \\
x + g'(p) = 0 &
\end{cases}
\end{eqnarray}
とパラメータ表示されるのでした。
(3)の包絡線を求めるには、両辺を\(C\)で微分して得られる式と、もとの式、つまり(3)を連立させればよいです。
実際に(3)の両辺を\(C\)で微分すると
\[x+g'(C)=0\] が得られるので、求めたい包絡線は
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
y = Cx + g(C) & \\
x+g'(C)=0 &
\end{cases}
\end{eqnarray}
とパラメータ表示されることになります。これは特異解のパラメータ表示とまったく同じ構造をしています(パラメータの文字が\(p\)から\(C\)に置き換わっただけです)。
以上より、クレローの微分方程式において、特異解は一般解の包絡線になっていることが確認できました。

例題

それでは実際に問題を2つほど解いてみることにします。

[1問目] 次の微分方程式を解け。
\[y = xy' - (y')^2\]

(解) \(p=y'\)とおいた式
\[
y = px - p^2\ \ \ ・・・(4)
\] の両辺を\(x\)で微分して
\[(x - 2p) p'=0\] となるので、これより

\(p' = 0\) または \(x - 2p = 0 \)

を得る。\(p' = 0\)を積分することで\(p=C\)を得るので、これを用いて(4)から\(p\)を消去して一般解
\[y = Cx - C^2\ \ \ ・・・(5)\] が得られる。一方で、\(x-2p=0\)を用いて(4)から\(p\)を消去すると特異解
\[y=\frac{1}{4}x^2\ \ \ ・・・(6)\] が得られる。

(おまけ)
特異解が一般解の包絡線になっているか確かめてみましょう。
(5)の両辺を\(C\)で微分して
\[x-2C=0\] これともとの式(5)を連立させて\(C\)を消去すると
\[y=\frac{1}{2}x・x-\left( \frac{1}{2}x\right)^2=\frac{1}{4}x^2\] となってこれは(6)と一致。

[2問目] 次の微分方程式を解け。
\[y = xy' \pm \sqrt{(y')^2+1}\]

(解) まずいつも通り\(p=y'\)とおいた式
\[y = px \pm \sqrt{p^2+1}\ \ \ ・・・(7)\] を\(x\)で微分します。すると
\[
p'\left(x \pm \frac{p}{\sqrt{p^2+1}}\right) = 0
\] が得られるので、これより

\(p' = 0\)または\(x \pm \frac{p}{\sqrt{p^2+1}} = 0 \)

となります。\(p'=0\)を積分することで\(p=C\)を得るので、これを用いて(7)から\(p\)を消去して一般解
\[y = Cx \pm \sqrt{C^2+1}\] が導けます。次に\(x \pm \frac{p}{\sqrt{p^2+1}} = 0 \)と(7)を連立して特異解を求めますが、今回は少し工夫が必要です。まず、
\[x = \mp \frac{p}{\sqrt{p^2+1}}\ \ \ ・・・(8)\] と変形し(7)から\(x\)を消去してしまいます。その結果
\[y = \mp \frac{p^2}{\sqrt{p^2 + 1}} \pm \sqrt{p^2+1} = \pm \frac{1}{\sqrt{p^2+1}} \ \ \ ・・・(9)\] が得られます。複合同順で変形を進めていることに注意してください。すると
\[x^2+y^2=\frac{p^2}{p^2+1} + \frac{1}{p^2+1}=1 \ \ \ ・・・(10)\] というふうに特異解が得られます。

(おまけ)
この問題についても特異解が一般解の包絡線になっているか計算してみましょう。
以下の計算でも複合同順であることに注意してください。
一般解(8)の両辺を\(C\)で微分して
\[x = \mp \frac{C}{\sqrt{C^2+1}}\ \ \ ・・・(11)\] が得られます。今回もちょっとした工夫が必要で、直接\(C\)を消すのはちょっと厳しいです。
そこでまずは(11)を用いて(7)から\(x\)を消去してしまいます。
\begin{align}
y=&\mp \frac{C^2}{\sqrt{C^2+1}} \pm \sqrt{C^2+1} \\
=&\frac{\mp C^2 \pm (C^2+1)}{\sqrt{C^2+1}} \\
=&\frac{\mp C^2 \pm C^2 \pm 1}{\sqrt{C^2+1}} \\
=&\pm \frac{1}{\sqrt{C^2+1}}
\end{align}
すると
\begin{align}
x^2 + y^2 =& \left(\mp \frac{C}{\sqrt{C^2+1}}\right)^2 + \left(\pm \frac{1}{\sqrt{C^2+1}}\right)^2 \\
=& \frac{C^2}{C^2+1} + \frac{1}{C^2+1} \\
=& 1
\end{align}
となって、きちんと特異解(10)と一致します。

おわりに

クレローの微分方程式についてその概要と具体例を見てきました。
一見すると「え?解けなくね?」と思いがちな微分方程式が、ちょっといじくるときれいに解けて、しかも一般解と特異解の間に包絡線の関係があるというのは興味深いですよね。

  • このエントリーをはてなブックマークに追加
  • Pocket

コメント一覧

  1. おのさき より:

    素朴な疑問なのですが、包絡線はなぜパラメータに関する微分で求まるのでしょうか?
    一意に定まるのが非常に不思議です。

コメントを残す